MAKSIMAL DAN MINIMAL DALAM FUNGSI DAN PENGGUNAANNYA DALAM EKONOMI

Tugas Makalah :                                    

MAKSIMAL DAN MINIMAL DALAM FUNGSI DAN PENGGUNAANNYA DALAM EKONOMI

Disusun Oleh :

MUHAMMAD GHALIH

ERNITA DWI ARIATI

MARWATIN

NUR FADHILATIL ULA

JUAN JUNARDI

Jurusan Syariah Dan Ekonomi Islam/Ekonomi Islam

Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri

 (STAIN)

Sultan Qoimuddin Kendari

2014

KATA PENGANTAR

     Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah ini sebatas pengetahuan dan kemampuan yang dimiliki. Dan juga kami berterima kasih pada Bapak pembimbing yang telah memberikan tugas ini kepada kami.

      Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai “Maksimal dan Minimal suatu fungsi dan penggunaannya dalam ekonomi” , Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat kekurangan-kekurangan dan jauh dari apa yang kami harapkan. Untuk itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa sarana yang membangun.

      Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya makalah yang telah disusun ini dapat berguna bagi kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang membangun demi perbaikan di masa depan.

                                                                                        Kendari,    Juni 2014

                                                                                              Penyusun       

 

BAB I

PENDAHULUAN

1.1       Latar Belakang

Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau absolute) .

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri, misalnya ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali menggunakan kosakata ini, maka akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi yang sama halnya dengan masalah kalkulus biasa. Untuk memproduksi dan memasarkan sebuah barang (x satuan), perusahaan ajan mempunyai biaya total C(x). ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dan sebagainya) ditambah biaya variable, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi.

Missal s, adalah daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:

a.        f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s;

b.      f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s;

c.       f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

1.2       Rumusan Masalah

a)      Bagaimana cara menentukan nilai maksimum dan  minimum suatu fungsi?

b)      Bagaimanakah penerapan fungsi maksimum dan minimum dalam ekonomi?

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Maksimum dan Minimum

 Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau absolute) .

 Lebih umum lagi, maksimum dan minimum dari suatu himpunan (sebagaimana didefinisikan dalam teori himpunan) adalah elemen terbesar dan paling tidak set. Tak terbatas tak terbatas set seperti himpunan bilangan real tidak memiliki minimum dan maksimum.

 Missal s, adalah daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:

d.       f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di s;

e.       f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di s;

f.       f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

B.     Maksimum dan Minimum Lokal

 Andaikan s, daerah asal f, memuat titik c, maka dapat dikatakan bahwa:

a.        f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ s;

b.      f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f (c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ s;

c.       f(c) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.

Teorema A

(uji turunan pertama untuk ekstrim lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

a.        jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x) < style="">f(c) adalah nilai maksimum local f.

b.      jika f’(x) < style="">f’ (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.

c.       jika f’ (x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f (c) bukan nilai ekstrim local f.

Teorema B

(Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal). Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

a.       jika f” (c) < style="">f.

b.      jka f” (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

c.       Jika f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Diberikan fungsi f dengan daerah asal S, maka ada tiga hal yang perlu ditanyakan tentang nilai-nilai maksimum atau minimum fungsinya.

1. apakah f mempunyai nilai maksimum pada S ?

2. Jika f mempunyai nilai maksimum, dimanakah nilai itu pada domain S? dan Jika f mempunyai nilai maksimum, berapakah  nilai itu ?

Untuk menjawab pertanyaan diatas kita lihat dulu definisi dibawah ini :

Definisi :

Andaikan S daerah asal f yang memuat titik c. Kita katakana bahwa :

-  f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S

-  f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S

-  f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum pernyataan keujudan

apakah f mempunyai nilai maksimum atau minimum pada S ?

jawab :

ambillah f(x) = 1/x pada s = ( 0,∞)

fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum. Sebaliknya, fungsi yang sama pada S = [1,3] mempunyai nilai maksimum f(1) = 1 dan nilai  minimum f(3) = 1/3. Pada S = [1,3], f tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum f(3) = 1/3.

Jawabannya bukan hanya itu saja, karena jawaban diatas hanya pada fungsi continue. Sedangkan, untuk tak continue bisa dijelaskan yaitu :

Ambilah fungsi tak continue g yang didefinisikan :

g(x) =       x          jika 1 ≤ x < 2

x – 2   jika 2 ≤ x ≤ 3

pada S = [1,3] , g tidak mempunyai nilai maksimum hanya mendekati nilai 2 tetapi tidak pernah mencapai 2. Tetapi, g mempunyai nilai minimum untuk g(2) = 0. Teorema kewujudan maksimum dan minimum

C.     Penerapan Ekonomi

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri, misalnya ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali menggunakan kosakata ini, maka akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi yang sama halnya dengan masalah kalkulus biasa. Untuk memproduksi dan memasarkan sebuah barang (x satuan), perusahaan ajan mempunyai biaya total C(x). ini biasanya jumlah dari biaya tetap (keperluan kantor, pajak bangunan dan sebagainya) ditambah biaya variable, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuan yang diproduksi.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya. Dengan sistematis dapat ditulis P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x).

Biaya marjinal: dC/dx.

Biaya rata-rata: C(x)/x.

Pendapatan marjinal: dR/dx.

Laba marjinal: dP/dx = dR/dx – dC/dx.

 Contoh Soal dan Penyelesaian :

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x pada interval [0,3]?

Penyelesaian:

a.       turunkan fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x sehingga menjadi f’(x) = 6x – 18x + 12

b.      menentukan titik kritis

6x – 18x + 12 = 0

(6x – 12) (x – 1) = 0

6x – 12 = 0 x – 1 = 0

x = 2 x = 1

c.       intervalnya [0,3] sehingga titik kritisnya adalah 0, 1, 2, 3

d.      menentukan nilai maksimum dan nilai minimum dengan mensubstitusikan titik kritis kedalam fungsi f(x) = 2x³ – 9x² + 12x

x = 0 → f(0) = 2(0)³ – 9(0)² + 12(0) = 0 → nilai minimum

x = 1 → f(1) = 2(1)³ – 9(1)² + 12(1) = 5

x = 2 → f(2) = 2(2)³ – 9(2)² + 12(2) = 4

x = 3 → f(3) = 2(3)³ – 9(3)² + 12(3) = 9 → nilai maksimum

jadi dari fungsi diatas ditentukan bahwa nilai fungsi f(0) adalah nilai minimum dan nilai fungsi f(3) adalah nilai minimum

2. Tentukan dimana fungsi h(x) = 4x³ – 6x² – 24x + 14 naik dan dimmana turun?

Penyelesain:

menurunkan fungsi h(x) = 4x³ – 6x² – 24x + 14 → h’(x) = 12x² – 12x – 24

12x² – 12x – 24 = 0

(3x – 6) (4x + 4) = 0

3x – 6 = 0 4x + 4 = 0

x = 2 x = -1

sehingga dapat ditentukan dimana (3x – 6) (4x + 4) > 0 dan dimana (3x – 6) (4x + 4) <>

(+) (0) (-) (0) (+)-1 2

titik pemisah adalah -1 dan 2, sehingga membagi sumbu x atas tiga selang yaitu

(-∞,-1), (-1,2), (2,∞).

Menurut teorema jika h’(x) >0 maka h naik pada I dan jika h’(x) <>

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

            Dalam matematika, maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yang dikenal secara kolektif sebagai ekstrem, yang nilai terbesar dan terkecil bahwa fungsi memerlukan pada suatu titik baik dalam lingkungan tertentu ( local atau relative ekstrem ) atau pada domain fungsi secara keseluruhan (ekstem global atau absolute) .

Langkah untuk menyelesaikan masalah maks-min terapan adalah sebagai berikut:

1. Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yang sesuai untuk besaran-besaran kunci.
2. Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variable-variabel tersebut.
3. Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variable-variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misalnya x.
4. Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebua selang.
5. Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana dQ/dx = 0.

DAFTAR PUSTAKA

http///google.com

dianhusadainti.blogspot.com

nilai maksimum dan minimum fungsi-cerdaskan.com